LES DONNEES

On récupère les données des adjudications de l'ensemble des artistes à partir du site d' Artprice. Les artistes ont été répartis dans trois catégories comme ils le sont généralement par les maisons de ventes : les artistes contemporains (Contemporary) dont la majorité des oeuvres ont été produites après la guerre, les artistes modernes (Modern) qui débutent avec Edgar Degas et le mouvement impressionniste, et enfin les vieux maîtres qui regroupent tous les autres artistes (Old Master).
 
On sélectionne les artistes dont la vente d'une oeuvre a déjà franchi la barre du million de dollars. Pour chaque oeuvre de l'artiste, on calcule le rapport entre le prix d'adjudication et l'estimation basse, ou zéro si les enchères n'ont pas dépassé le prix de réserve.
 
auction basquiat
 

        LA MODELISATION DES DISTRIBUTIONS

L'idée est de considérer pour chaque oeuvre adjugée le rapport du prix marteau (Hammer Price) par l'estimation basse (Low Estimate), et de sélectionner pour chaque artiste les adjudications les plus récentes en fonction du nombre d'enregistrements disponibles sur la période considérée. Cette méthodologie permet de rendre l'ensemble des ventes homogènes, et d'éliminer l'influence de la plupart des facteurs de biais comme le type, le style et les dimensions de l'oeuvre, les taux de change et l'inflation, le lieu de vente ou les taux des commissions. Comme la majorité des maisons de ventes démarrent les enchères entre 60% et 80% de l'estimation basse, cette solution permet de construire des distributions remarquablement homogènes pour un même artiste, mais également entre les artistes.
 
La distribution se compose donc de deux parties : la première est une mesure de Dirac située en zéro et dont le poids est le taux d'invendus : Unsold, et la seconde est une loi de Weibull à deux paramètres d et s de poids : 1 - Unsold, dont la densité s'écrit :
density
et la fonction de répartition :
repartition
Le paramètre d est appelé la dispersion et mesure la performance de l'artiste au cours des enchères publiques. Le paramètre s est appelé la sharpness et son inverse mesure la volatilité des prix d'adjudications quand ils dépassent le prix de réserve. L'estimation des paramètres de la loi de distribution est réalisée par la méthode du maximum de la log-vraisemblance.
 
moma
 
brillo
 

        PRICING DES OPTIONS SUR ADJUDICATION

Lorsqu'un vendeur hésite à mettre une oeuvre de valeur aux enchères par crainte d'une mauvaise vente, la maison de ventes peut lui proposer un prix garanti, généralement au-dessus de l'estimation haute, adossé à une option sur adjudication. La valeur initiale théorique de l'option est égale au prix garanti moins le prix de réserve. Le vendeur est assuré de toucher le prix garanti si le prix marteau dépasse le prix de réserve. Ce mécanisme incite le vendeur à proposer un prix de réserve plus bas, et donc augmente l'espérance de la maison de vente de toucher une commission sur la vente de l'oeuvre.
 
Le strike K de l'option est calculé comme le break even, arrondi au 10K$ supérieur, entre le prix théorique initial de l'option et la valeur actualisée de l'option évaluée en appliquant la loi de distribution de Weibull de l'artiste, plus la commission d'émission des warrants. Si rp et k désignent le prix de réserve et le strike divisés par l'estimation basse, la valeur k est solution de l'équation :
breakeven
r est le taux sans risque de la monnaie dans laquelle est exprimé le prix de la vente et T est la maturité jusqu'à la date d'adjudication. La résolution numérique de l'équation est réalisée à l'aide d'algorithmes de trisection et de Newton-Raphson, et par la méthode des trapèzes pour le calcul de l'intégrale.
 
La cote d'un artiste n'étant pas négociable sur les marchés financiers, l'univers probabiliste construit pour évaluer le prix de l'option n'est pas complet et il n'existe donc pas un univers risque neutre dans le lequel il serait possible de répliquer le rendement de l'option avec un actif et du cash. En toute rigueur, la formule ci-dessus devrait inclure une prime de risque du marché correspondant à la corrélation entre la cote de l'artiste et l'indice général des marchés financiers. On suppose qu'en général cette corrélation est nulle, et donc que la prime de risque du marché est nulle, ce qui justifie la validité de la formule. La quantité : K * (1 - fees) représente le prix garanti proposé au vendeur par la maison de vente. La banque est ensuite chargée de titriser l'option sous formes de call warrants avec une parité égale à l'inverse du nombre de titres émis et avec une quotité qui représente le nombre minimal de warrants acquis par chaque investisseur. Le prix d'émission de chaque warrant est donc égal à :
warrant price
Les grecs sont calculés en fonction des variations des différents paramètres de la formule de pricing : le taux sans risque r pour le rho, la maturité T de l'option pour le theta, la performance d pour le delta et le gamma, et la volatilité, inverse de la sharpness s, pour le vega et le volga.
 
marketwatch
 
La banque est également chargée de commercialiser les warrants auprès de ses clients et d'animer le marché secondaire en proposant un prix d'achat et un prix de vente du warrant jusqu'à l'expiration du titre, qui correspond à la date d'adjudication de l'oeuvre par la maison de ventes. Les premiers investisseurs intéressés par l'achat de call warrants sont les potentiels enchérisseurs de l'oeuvre d'art qui auront intérêts à faire grimper les enchères le plus haut possible pour augmenter l'effet de levier, et rendra l'opération encore plus attractive pour d'autres investisseurs.
 
caravage
 
picasso
 
richter
 
kaws
 

        LA FRONTIERE EFFICIENTE

La loi de distribution de Weibull associée aux résultats des adjudications de chaque artiste peut être représentée dans un graphe volatilité/performance par un point dont l'abscisse correspondant à l'inverse du paramètre de sharpness s et l'ordonnée au paramètre de dispersion d. L'objectif des investisseurs en oeuvres d'art est de maximiser la performance pc de leur collection en minimisant la volatilité vc, c'est-à-dire que pour une performance donnée, de déterminer les pondérations optimales de chaque artiste dans la collection pour minimiser les risques.
 
En résolvant ce problème de minimisation sous contraintes, on montre en utilisant les valeurs calculées des performances et des volatilités pour chaque artiste, à partir des résultats des adjudications contenus dans la base de données, que la frontière efficiente est une branche d'hyperbole qui vérifie approximativement l'équation :
equation
Le point singulier de l'hyperbole représente une performance de 1 (correspondant à une moyenne des prix marteau égale à l'estimation basse) et une volatilité de 20%. Les points du graphe volatilité/performance correspondant aux lois de distribution de Weibull des principaux artistes, et la courbe de la frontière efficiente, sont représentés dans le graphe ci-dessous :
efficient border
Les artistes qui se trouvent le plus près de la frontière efficiente représentent les meilleurs investissements pour les collectionneurs. Parmi les contemporains, les artistes les mieux placés sont actuellement KAWS, Georges Condo, A.R. Penck et Keith Haring. Parmi les modernes, on trouve Edgar Degas, Vincent Van Gogh, le peintre réaliste américain Edward Hopper, Edvard Munch et Emil Nolde. Parmi les vieux maîtres figurent Nicolas Poussin, Jacques-Louis David et Jean-François Millet. Parmi les peintres français contemporains, Pierre Soulages et Robert Combas présentent les meilleurs performances.
 
Le point sur le graphe et le taux d'invendus permettent de déterminer quels sont les artistes dont la vente aux enchères des oeuvres dans les maisons de ventes sont susceptibles d'être adossées à une option sur adjudication. La condition préliminaire est que l'estimation basse doit dépasser le million de dollars. Pour le vendeur, l'oeuvre doit présenter un risque important de ne pas être vendue ou mal vendue. Pour les investisseurs en call warrants, le point du graphe représentant l'artiste doit présenter une bonne volatilité et une bonne performance, et se situer le plus prés possible de la frontière efficiente.
 
Banksy et Edgar Degas sont des exemples d'artistes qui correspondent à ce profil. La forme des courbes de densité des lois de distributions de Weibull est caractérisée par un fort aplatissement et des queues de distribution épaisses. Par contre, les oeuvres de Pierre Soulages ou de Vincent Van Gogh présentent des taux d'invendus trop faibles et ne présentent pas de risques pour leurs propriétaires. A l'opposé, les investisseurs en call warrants ne serait pas intéressés à investir dans des warrants portant sur des oeuvres de Matisse ou d'Andy Wahrol car les profil de distributions présentent une performance trop faible par rapport à leur volatilité.
 
kusama
 
banksy
 
degas
 
soulages
 
van gogh
 
matisse
 
wahrol
 

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